Ukuran Pemusatan Data Statistika

Media Pembelajaran Matematika Terapan • SMK Negeri 1 Mundu

Konsep Mean (Rata-Rata), Modus (Nilai Terbanyak), dan Median (Nilai Tengah)

Dirancang khusus untuk murid kelas XI SMK Negeri 1 Mundu. Pelajari cara menghitung, menganalisis, dan memanfaatkan ukuran pemusatan data baik pada data tunggal maupun tabel distribusi frekuensi berkelompok secara visual dan interaktif.

SMK Negeri 1 Mundu Cirebon

Mata Pelajaran: Matematika (Statistika)

Target Pengguna: Murid Kelas XI Semua Kompetensi Keahlian

A. MEAN (Rata-Rata)

x̄

Jumlah seluruh nilai data dibagi banyaknya data. Meliputi data tunggal, data baru, rata-rata gabungan, dan metode coding/rata-rata sementara.

Pelajari Rumus & Contoh 10-16

B. MODUS (Terbanyak)

Mo

Nilai yang paling sering muncul atau berfrekuensi tertinggi. Meliputi data tunggal (unimodal/bimodal/tanpa modus) dan data berkelompok.

Pelajari Rumus & Contoh 19-20

C. MEDIAN (Nilai Tengah)

Me

Nilai pertengahan dari data yang telah diurutkan. Meliputi letak data ganjil, data genap, dan rumus interpolasi data berkelompok.

Pelajari Rumus & Contoh 21-22

Alur Belajar Murid

Panduan 6 Langkah Pembelajaran

Ikuti modul secara berurutan agar pemahaman konsep optimal

1

Beranda

Pengenalan Awal

2

Tujuan

Capaian Belajar

3

Materi

Rumus & Kalkulator

5

Kuis

10 Soal Evaluasi

6

Hasil

Skor & Pembahasan

7

Refleksi

Jurnal Murid

Aplikasi Nyata Dunia Kejuruan (SMK)

Mengapa Murid SMK Butuh Statistika?

Statistika bukan sekadar menghafal rumus, melainkan keterampilan menghitung rata-rata toleransi ukuran presisi mesin bubut, menentukan modus ukuran alat kerja yang paling diminati, serta mengetahui nilai tengah produktivitas kerja di industri!

Capaian Pembelajaran Kurikulum

Tujuan Pembelajaran Murid

Berikut adalah target kompetensi yang wajib dikuasai oleh murid kelas XI SMK Negeri 1 Mundu setelah mempelajari modul ukuran pemusatan data.

TUJUAN PEMBELAJARAN UTAMA

Siswa / Murid mampu memahami konsep ukuran pemusatan data statistika

Murid mampu mendefinisikan, mengidentifikasi perbedaan karakteristik, serta menghitung nilai ukuran pemusatan data yang meliputi Mean, Modus, dan Median baik pada data tunggal maupun data berkelompok (tabel distribusi frekuensi).

Indikator 1: Mean

Menghitung mean data tunggal & berbobot.
Menyelesaikan soal rata-rata baru & gabungan.
Menggunakan titik tengah & metode coding.

Indikator 2: Modus

Menentukan modus data tunggal (unimodal/bimodal).
Memahami kondisi data tanpa modus.
Menghitung modus kelompok dengan rumus Tb dan d₁.

Indikator 3: Median

Mengurutkan data sebelum mencari nilai tengah.
Menentukan median data ganjil dan genap.
Menghitung median data kelompok dari frekuensi kumulatif.

Visualisasi Konseptual

Peta Konsep Ukuran Pemusatan Data

Hierarki pembagian materi statistika untuk murid kelas XI

UKURAN PEMUSATAN DATA STATISTIKA Deskripsi satu nilai yang mewakili seluruh sebaran data

1. MEAN (x̄)

Rata-Rata Hitung

• Data Tunggal: Σx / n

• Gabungan: (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) / (n₁+n₂)

• Kelompok: Σ(f·x) / Σf atau Coding

2. MODUS (Mo)

Nilai Paling Sering Muncul

• Data Tunggal: Frekuensi terbanyak

• Kondisi: Unimodal / Bimodal / Nihil

• Kelompok: Tb + (d₁/(d₁+d₂))·c

3. MEDIAN (Me)

Nilai Tengah Data Terurut

• Data Tunggal: Wajib diurutkan

• Letak n Ganjil vs n Genap

• Kelompok: Tb + ((½n - F)/f)·c

Pertanyaan Pemantik (Apersepsi)

Uji Logika Awal Murid Kelas XI

Renungkan pertanyaan berikut sebelum memasuki rincian rumus matematis:

Kapan Modus lebih berguna dibanding Rata-rata?

Misalnya ketika pabrik seragam SMK ingin memproduksi baju, mereka butuh ukuran baju yang paling banyak dipakai (modus), bukan ukuran baju rata-rata yang hasilnya desimal!

Mengapa Median kebal terhadap nilai ekstrem (pencilan)?

Karena median hanya melihat posisi urutan tengah. Walaupun ada 1 nilai yang sangat tinggi (misal gaji bos miliaran), nilai tengah tetap stabil mewakili data mayoritas!

Bahan Ajar Lengkap

Materi: Mean, Modus, dan Median

Pembahasan didaktis langkah demi langkah beserta contoh soal Contoh 10 s.d. 22 dari modul matematika SMK Negeri 1 Mundu.

Buka Laboratorium Kalkulator

A

A. MEAN (Rata-Rata Hitung)

Konsep, Rata-rata Gabungan, Titik Tengah, dan Metode Coding

Dalam kehidupan sehari-hari, rata-rata lebih banyak dikenal, misalnya rata-rata gaji pegawai suatu perusahaan tiap bulan, rata-rata pendapatan perkapita masyarakat Indonesia, rata-rata usia murid kelas XI SMK Negeri 1 Mundu, dan sebagainya.

1. Rata-Rata Hitung Data Tunggal

Dari sekumpulan data x₁, x₂, x₃, x₄, ..., xₙ, maka rata-rata hitungnya adalah:

x̄ = x₁ + x₂ + x₃ + ... + xₙn = Σ xᵢn

Contoh 10 Tentukan nilai rata-rata hitung dari data: 6, 4, 8, 10, 11, 10, 7

Jawab:

Banyaknya data (n) = 7

Rata-rata hitung = x̄ = 6 + 4 + 8 + 10 + 11 + 10 + 77 = 567 = 8

Contoh 11 Kasus Murid Baru (Nilai Ujian Dodo)

Nilai rata-rata ujian matematika dari 34 murid adalah 49. Jika nilai dari seorang murid bernama Dodo digabung ke dalam kelompok ini, maka nilai rata-ratanya menjadi 50. Berapakah nilai ujian dari Dodo tersebut?

Jawab:

x̄ = Σxᵢ / n = Σxᵢ / 34 = 49 ==> Σxᵢ = 34 × 49 = 1666

Misalkan nilai ujian Dodo adalah x. Setelah digabungkan, jumlah murid n = 35 dan rata-rata baru = 50:

x̄ = (Σxᵢ + x) / 35 = 50

Σxᵢ + x = 35 × 50 = 1750

x = 1750 - Σxᵢ = 1750 - 1666 = 84

✔ Jadi, nilai ujian matematika Dodo adalah 84.

Contoh 12 Rata-rata Gabungan Dua Kelompok Murid

Kelompok laki-laki yang berjumlah 20 anak mempunyai rata-rata 6, sedangkan kelompok perempuan berjumlah 30 anak mempunyai rata-rata ujian 8. Andaikan kedua kelompok digabung, berapakah rata-rata barunya?

Jawab:

Kelompok laki-laki (l): x̄ₗ = 6 dan nₗ = 20 ==> Σxₗ = 6 × 20 = 120

Kelompok perempuan (p): x̄ₚ = 8 dan nₚ = 30 ==> Σxₚ = 8 × 30 = 240

Setelah digabung: n = nₗ + nₚ = 20 + 30 = 50

Σx = Σxₗ + Σxₚ = 120 + 240 = 360

Maka: x̄ = Σx / n = 360 / 50 = 7,2

✔ Jadi, rata-rata nilai ujian matematika gabungan adalah 7,2.

Contoh 13 Data Berbobot Frekuensi: x̄ = Σ(fᵢ·xᵢ) / Σfᵢ

Nilai (x)	2	3	4	5	Total
Frekuensi (f)	1	4	3	2	n = 10

x̄ = (1·2 + 4·3 + 3·4 + 2·5) / (1 + 4 + 3 + 2) = (2 + 12 + 12 + 10) / 10 = 36 / 10 = 3,6

Contoh 14 Rata-Rata Data Berkelompok (Distribusi Frekuensi)

Nilai tengah interval: xᵢ = 0,5 × (Batas Bawah + Batas Atas).

Kelas Interval	Nilai Tengah (xᵢ)	Frekuensi (fᵢ)	fᵢ · xᵢ
3 - 5	4	3	12
6 - 8	7	4	28
9 - 11	10	11	110
12 - 14	13	4	52
15 - 17	16	8	128
18 - 20	19	5	95
21 - 23	22	5	110
Jumlah (Σ)		40	535

Nilai rata-rata adalah: x̄ = Σ(fᵢ·xᵢ) / Σfᵢ = 535 / 40 = 13,38

Metode Coding Penyederhanaan Rata-Rata Sementara: x̄ = x̄ₛ + [ Σ(fᵢ·uᵢ) / Σfᵢ ] · c

Keterangan: x̄ₛ = rata-rata sementara, c = panjang kelas, uᵢ = kode simpangan (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).

Jika x̄ₛ = 150, c = 9, Σ(fᵢ·uᵢ) = -14, dan Σfᵢ = 40:
x̄ = 150 + (-14 / 40) × 9 = 150 - 3,15 = 146,85

B

B. MODUS (Nilai yang Sering Muncul)

Karakteristik Unimodal, Bimodal, Tanpa Modus, dan Rumus Data Kelompok

Modus dari suatu data adalah data yang sering muncul atau data yang mempunyai frekuensi tertinggi.

Contoh 19: Modus Data Tunggal

Kasus A (Unimodal):

3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7

Modus = 5

Nilai 5 paling sering muncul (3 kali).

Kasus B (Bimodal):

5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8

Modus = 6 dan 7

Nilai 6 dan 7 sama-sama muncul 3 kali.

Kasus C (Tanpa Modus):

5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7

Tidak ada modus

Semua angka muncul sama banyak (3 kali).

Rumus Modus Data Berkelompok

Mo = Tb + d₁d₁ + d₂ × c

Tb = Tepi bawah kelas modus (kelas frekuensi terbesar)

d₁ = Selisih frekuensi modus dengan kelas sebelumnya (f_mo - f_b)

d₂ = Selisih frekuensi modus dengan kelas sesudahnya (f_mo - f_a)

c = Panjang kelas interval

Contoh 20 Perhitungan Modus Tabel Distribusi Frekuensi

Tabel frekuensi: 30-34 (8), 35-39 (10), 40-44 (13), 45-49 (17 - Modus!), 50-54 (14), 55-59 (11), 60-64 (7).

Frekuensi terbesar adalah 17 pada interval 45 - 49:

• Tb = 45 - 0,5 = 44,5

• d₁ = 17 - 13 = 4 (selisih frekuensi kelas sebelumnya)

• d₂ = 17 - 14 = 3 (selisih frekuensi kelas sesudahnya)

• c = 35 - 30 = 5

Mo = 44,5 + [ 4 / (4 + 3) ] × 5 = 44,5 + (20 / 7) = 44,5 + 2,86 = 47,36

C

C. MEDIAN (Nilai Tengah)

Data Tunggal Terurut, Posisi Genap/Ganjil, dan Interpolasi Kelompok

Median (Me) adalah nilai pertengahan dari sekelompok data yang telah diurutkan menurut besarnya (x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ xₙ).

Contoh 21: Median Data Tunggal

Kasus A (n = 9, Ganjil):

Data mentah: 3, 10, 9, 4, 5, 8, 8, 4, 6

Data urut: 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 9, 10

Letak Me = datum ke-( (9+1)/2 ) = datum ke-5 ==> Me = 6

Kasus B (n = 10, Genap):

Data mentah: 3, 8, 5, 4, 10, 8, 4, 6, 9, 5

Data urut: 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 10

Letak Me = rata-rata datum ke-5 dan ke-6: (5 + 6) / 2 = 5,5

Rumus Median Data Berkelompok

Me = Tb + ½n - Ff × c

Tb = Tepi bawah kelas median

n = Jumlah total frekuensi (Σf)

F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = Frekuensi kelas median

c = Panjang kelas interval

Contoh 22 Perhitungan Median Tabel Distribusi Frekuensi (n = 80)

1. Cari letak median: ½ n = ½ × 80 = 40 (data ke-40)

2. Dari frekuensi kumulatif (8, 18, 31, 48...), data ke-40 terletak pada interval 45 - 49:

• Tb = 45 - 0,5 = 44,5

• f = 17 (frekuensi kelas median)

• F = 8 + 10 + 13 = 31 (frekuensi kumulatif sebelum kelas median)

• c = 5

Me = 44,5 + [ (40 - 31) / 17 ] × 5 = 44,5 + (9 / 17) × 5 = 44,5 + 2,65 = 47,15

Fitur Interaktif Praktikum Mandiri

Laboratorium Kalkulator Statistika Murid

Ketikkan deretan angka data tunggal apa saja, sistem akan langsung menghitung Mean, Median, Modus, dan langkah perhitungannya!

Contoh Cepat:

Masukkan Deret Angka (Pisahkan dengan koma atau spasi)

Data Terurut (Ascending): 4, 6, 7, 8, 10, 10, 11

Banyak Data (n): 7 Jumlah Total (Σx): 56

1. Mean (Rata-Rata)

8.00

x̄ = 56 / 7 = 8

2. Modus (Terbanyak)

10

Muncul 2 kali

3. Median (Nilai Tengah)

8.00

Datum ke-4

Evaluasi Ketercapaian Murid

Kuis Ukuran Pemusatan Data

10 butir soal interaktif mencakup Mean, Modus, dan Median untuk murid kelas XI SMK Negeri 1 Mundu.

Laporan Hasil Belajar

Hasil Capaian Belajar Murid

Analisis penguasaan konsep ukuran pemusatan data statistika Kelas XI SMK Negeri 1 Mundu

Jurnal Metakognitif & Refleksi Diri Murid

Lembar Refleksi Pembelajaran Statistika

Refleksi membantu murid mengevaluasi sejauh mana konsep ukuran pemusatan data (Mean, Modus, Median) telah dikuasai, kesulitan apa yang dihadapi, serta bagaimana statistika dapat dimanfaatkan dalam bidang keahlian di SMK Negeri 1 Mundu.

1. Bagaimana perasaan dan kepuasan belajar murid setelah menyelesaikan modul statistika ini?

2. Konsep apa yang paling kamu pahami dan sukai (Mean, Modus, atau Median)? Berikan alasanmu!

3. Bagian perhitungan mana yang menurutmu paling menantang atau membutuhkan ketelitian tinggi?

4. Rumus atau trik apa yang paling membantumu dalam menyelesaikan soal statistika?

5. Rencana penerapan: Bagaimana kamu akan memanfaatkan statistika dalam bidang keahlian di SMK Negeri 1 Mundu?